Question

【題目】如圖所示，豎直面內的光滑四分之一圓弧軌道AB與光滑的半圓弧軌道BC在B點平滑連接，四分之一圓弧的圓心與C點重合，半圓弧的直徑BC沿豎直方向，一個小球在A點正上方某高度處由靜止釋放，無碰撞地進人軌道，并恰好能到達C點，半圓弧的半徑為R,重力加速度為g，求:

（1）運動到B點前和B點后一瞬間對軌道的壓力大小之比;

（2）小球從C點飛出后，第一次落到四分之一圓弧軌道上的位置離B點的高度為多少?

（3）若僅將半圓弧軌道的半徑增大為3R,圓心仍在過B點的豎直線上，兩圓弧軌道仍在B點平滑連接，要使小球第一次運動到半圓弧軌道上時，不會脫離軌道，則小球下落時的位置離B點的高度應滿足什么條件?

Answer 1

【答案】（1） （2）（3-）R （3）

【解析】

（1）由于小球剛好能到達C點，則

mg=m

從B到C的過程機械能守恒，則有

2mgR=

設小球到達B點前一瞬間軌道對小球的支持力為 到達B點后一瞬間軌道對小球的支持力為，則有

求得mg

求得mg

根據牛頓第三定律，小球到達B點后一瞬間對軌道的壓力

小球到達B點后一瞬間對軌道的壓力

因此有

（2）小球從C點飛出做平拋運動，以C點為坐標原點，向下向左建立直角坐標系，設小球第一次落到軌道上的位置坐標為(x，y)

則有

x=

y=gt

x+y=(2R)

求得

y=（

落點離B點的高度

h=2R-y=（3-）R

（3）設小球下落點離B點的高度為時，小球剛好能運動到半圓弧最高點，設此時在最高點的速度為v，

則根據牛頓第二定律有

mg=

根據機械能守恒定律有

mg=mv+6mgR

求得

設小球下落點離B點的高度為，小球剛好能運動到半圓弧軌道上與圓心等高的位置，根據機械能守恒定律

mg

可得=3R

要使小球第一次運動到半圓弧軌道上時，不會脫離軌道，則小球下落時的位置離B點的高度h應滿足：或