Question

【題目】已知函數 ，（a為常數且a＞0）．
（1）若函數的定義域為 ，值域為 ，求a的值；
（2）在（1）的條件下，定義區間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度為n﹣m，其中n＞m，若不等式f（x）+b＞0，x∈[0，π]的解集構成的各區間的長度和超過 ，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三角函數公式化簡可得：

f（x）=a（sinxcosx+ + cos2x）

=a（ sin2x+ + cos2x）

=a[ +sin（2x+ ）]，

∵x∈ ，∴2x+ ∈[ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴ +sin（2x+ ）∈[0，1+ ]，

∵由已知可得函數值域為 ，

∴a=1

（2）解：由題意可得 ，即

要使解集構成的各區間的長度和超過 ，需 ，解得

【解析】（1）由三角函數公式化簡可得f（x）=a[ +sin（2x+ ）]，由已知函數的值域可得a值．（2）由題意可得 要使解集構成的各區間的長度和超過 ，需 ，解不等式可得．