Question

在圓x²+y²=5x內，過點（

5

2

，

3

2

）有n條弦的長度成等差數列，最小弦長為數列的首項a₁，最大弦長為a_n，若公差d∈[

1

6

，

1

3

]，那么n的取值集合為（　　）

A．{4，5，6，7}

B．{4，5，6}

C．{3，4，5，6}

D．{3，4，5}

Answer 1

分析：先求出圓的圓心和半徑，根據圓的幾何性質計算出過點 (

5

2

，

3

2

)的最短弦長和最長弦長，即等差數列的第一項和第n項，再根據等差數列的公差d∈[

1

6

，

1

3

]，求出n的取值集合．

解答：解：圓x²+y²=5x的圓心為C (

5

2

，0)，半徑為r=

5

2

過點P (

5

2

，

3

2

)最短弦的弦長為a₁=2

r2-|PC|2

=4
過點P (

5

2

，

3

2

)最長弦長為圓的直徑長a_n=5，
∴4+（n-1）d=5，
d=

1

n-1

，
∵d∈[

1

6

，

1

3

]，
∴

1

6

≤

1

n-1

≤

1

3

，
∴4≤n≤7．
故選A．

點評：本題考察了圓的方程，圓的幾何性質及等差數列的通項公式等知識，解題時要學會使用圓的幾何性質解決圓的弦長問題，提高解題速度．