Question

在圓x²+y²=5x內，過點P(

5

2

，

3

2

)有n條長度成等差數列的弦，最小弦長為數列的首項a₁，最大弦長為a_n，若公差d∈[

2

13

，

2

5

]，那么n的取值集合內所有元素平方和為（　�。�

A．126

B．86

C．77

D．50

Answer 1

分析：根據題意可求得a₁=4，a_n=5，結合等差數列{a_n}的公差d∈[

2

13

，

2

5

]可得到n的取值，從而可得n的取值集合，繼而得到答案．

解答：解：∵圓x²+y²=5x的標準方程為：(x-

5

2

)2+y²=(

5

2

)2，
∴該圓的圓心坐標為：O′（

5

2

，0），半徑為

5

2

，
∴過點P（

5

2

，

3

2

）的弦中過點P的弦與PO′垂直時弦長最小，設最小弦長為l，
則l=2

( 5 2 )2-( 3 2 )2

=4，
最大弦長為過點P的直徑d=4，即a_n=5，
∵該圓的過點P的n條弦長成等差數列{a_n}，其公差d∈[

2

13

，

2

5

]，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∴5=4+（n-1）d，
∴n-1=

1

d

，①
∵

2

13

≤d≤

2

5

，
∴

5

2

≤

1

d

≤

13

2

，代入①有：

5

2

≤n-1≤

13

2

，
∴3.5≤n≤7.5，又n為正整數，
∴n=4，5，6，7．
∴n的取值集合N={4，5，6，7}，
∴n的取值集合內所有元素平方和S=4²+5²+6²+7²=126．
故選A．

點評：本題考查等差數列的性質，求得n的取值集合是關鍵，突出考查圓的性質，考查綜合分析與運算能力，屬于中檔題．