Question

設g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數，若函數f（x）=x+g（x） 在區間[0，1]上的值域為[-2，5]，則f（x） 在區間[0，3]上的值域為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數，令x+1=t進而可求函數在[1，2]時的值域，再令x+2=t可求函數在[2，3]時的值域，最后求出它們的并集即得（x） 在區間[0，3]上的值域．
解答：解：g（x）為R上周期為1的函數，則g（x）=g（x+1）
函數f（x）=x+g（x）在區間[0，1]【正好是一個周期區間長度】的值域是[-2，5]…（1）
令x+1=t，當x∈[0，1]時，t=x+1∈[1，2]
此時，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）
=[x+g（x）]+1
所以，在t∈[1，2]時，f（t）∈[-1，6]…（2）
同理，令x+2=t，在當x∈[0，1]時，t=x+2∈[2，3]
此時，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）
=[x+g（x）]+2
所以，當t∈[2，3]時，f（t）∈[0，7]…（3）
由已知條件及（1）（2）（3）得到，f（x）在區間[0，3]上的值域為[-2，7]
故答案為：[-2，7]．
點評：本題主要考查了函數的值域、函數的周期性．考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．