Question

設g（x）是定義在R上，以1為周期的函數，若f（x）=x+g（x）在[0，1]上的值域為[-2，5]，則f（x）在區間[0，3]上的值域為（　�。�

• A、[-2，7]
• B、[-2，5]
• C、[0，8]
• D、[-3，7]

Answer 1

分析：根據周期函數的性質和函數值域的性質，結合題意加以計算即可得到則f（x）在區間[0，3]上的值域．

解答：解：g（x）為R上周期為1的函數，則g（x）=g（x+1）
函數f（x）=x+g（x）在區間[0，1]（正好是一個周期區間長度）
的值域是[-2，5]
令x+1=t，當x∈[0，1]時，t=x+1∈[1，2]
此時，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1
所以，在t∈[1，2]時，f（t）∈[-1，6]…（1）
同理，令x+2=t，在當x∈[0，1]時，t=x+2∈[2，3]
此時，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2
所以，當t∈[2，3]時，f（t）∈[0，7]…（2）
由已知條件及（1）（2）得到，f（x）在區間[0，3]上的值域為[-2，7]
故選：A

點評：本題給出周期為1的函數g（x），在已知f（x）=x+g（x）在[0，1]上的值域情況下求f（x）在區間[0，3]上的值域．著重考查了函數的周期性、函數的值域求法和不等式的性質等知識，屬于基礎題．