Question

已知點，、、是平面直角坐標系上的三點，且、、成等差數列，公差為，．
（1）若坐標為，，點在直線上時，求點的坐標；
（2）已知圓的方程是，過點的直線交圓于兩點，
是圓上另外一點，求實數的取值范圍；
（3）若、、都在拋物線上，點的橫坐標為，求證：線段的垂直平分線與軸的交點為一定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

（1）或（2）當時，或 ；當時，或
（3）

試題分析：解（1），所以，設
則，消去，得，…（2分）
解得，,所以的坐標為或   
（2）由題意可知點到圓心的距離為…（6分）
（ⅰ）當時，點在圓上或圓外，，
又已知，，所以  或    
（ⅱ）當時，點在圓內， 所以，
又已知 ，，即或
結論：當時，或 ；當時，或
（3）因為拋物線方程為，所以是它的焦點坐標，點的橫坐標為，即 
設，，則，，，
所以         
直線的斜率，則線段的垂直平分線的斜率
則線段的垂直平分線的方程為
直線與軸的交點為定點    
點評：解決的關鍵是利用直線與圓的位置關系，以及拋物線的幾何性質來求解斜率和中垂線方程，屬于中檔題。