Question

【題目】如圖，三棱柱ABC-中，⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=AC=2，C=4，D為BC的中點

（I）求證：AC⊥平面AB；

（II）求證：C∥平面AD；

（III）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（II）見解析（III）

【解析】

（I）C⊥平面ABC，得A⊥平面ABC，從而A⊥AC，再結合已知可證得線面垂直；

（II）連接，與A相交于點O，連接DO，可證DO∥，從而證得線面平行；

（III）以為軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出兩平面和平面的法向量，由法向量的夾角余弦值求得二面角的余弦值．

（I）∵C⊥平面ABC，A∥C

∴A⊥平面ABC，

∴A⊥AC

又AC⊥AB，AB∩A=A

∴AC⊥平面AB·

（II）連接，與A相交于點O，連接DO

∵D是BC中點，O是中點，

則DO∥，

平面AD，DO平面AD

∴平面AD

（III）由（I）知，AC⊥平面AB，A⊥AB

如圖建立空間直角坐標系A-xyz·

則A（0，0，0），B（2，0，0），（2，4，0），D（1，0，1），=（1，0，1），=（2，4，0）

設平面AD的法向量為=（x,y,z），則

，即

取y=1，得=（-2，1，2）

平面AC的法向量為=（2，0，0）

Cos<,>==-·

則平面AD與平面AC所成銳二面角的余弦值為