Question

（2012•淄博一模）在平面直角坐標系內已知兩點A（-1，0）、B（1，0），若將動點P（x，y）的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的

2

倍后得到點Q（x，

2

y），且滿足

AQ

•

BQ

=1．
（Ⅰ）求動點P所在曲線C的方程；
（Ⅱ）過點B作斜率為-

2

2

的直線l交曲線C于M、N兩點，且

OM

+

ON

+

OH

=

0

，試求△MNH的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，

2

y），表示出

AQ

=（x+1，

2

y），

BQ

=（x-1，

2

y），利用

AQ

•

BQ

=1，即可求得動點P所在曲線C的方程；
（Ⅱ）設出l：y=-

2

2

（x-1），與橢圓聯立方程組

x2 2 +y2=1 y=- 2 2 (x-1)

，消去y，得2x²-2x-1=0，利用

OM

+

ON

+

OH

=

0

，確定H的坐標，計算|MN|，及H到直線l的距離即可求出△MNH的面積．

解答：解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，

2

y）．
依據題意，有

AQ

=（x+1，

2

y），

BQ

=（x-1，

2

y）．…（2分）
∵

AQ

•

BQ

=1，
∴x²-1+2y²=1．
∴動點P所在曲線C的方程是

x2

2

+y²=1 …（4分）
（Ⅱ）因直線l過點B，且斜率為k=-

2

2

，故有l：y=-

2

2

（x-1）…（5分）
聯立方程組

x2 2 +y2=1 y=- 2 2 (x-1)

，消去y，得2x²-2x-1=0．…（7分）
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得

x1+x2=1 x1x2=- 1 2

，于是

x1+x2=1 y1+y2= 2 2

．…（8分）
又

OM

+

ON

+

OH

=

0

，得

OH

=（-x₁-x₂，-y₁-y₂），即H（-1，-

2

2

）…（10分）
∴|MN|=

1+k2

[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3

2

2

，…（12分）
又l：

2

x+2y-

2

=0，則H到直線l的距離為d=

|- 2 +2×(- 2 2 )- 2 |

6

=

3

故所求△MNH的面積為S=

1

2

×

3

2

2

×

3

=

3 6

4

．…（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，計算弦長及點到直線的距離是關鍵．