Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法：令x=y=1即可求解
（2）利用賦值法可得，f（

1

9

）=2，然后結(jié)合f（xy）=f（x）+f（y），轉(zhuǎn)化已知不等式，從而可求

解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（4分）
（2）∵f(

1

3

)=1
∴f(

1

9

)=f(

1

3

×

1

3

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=2
∴f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]＜f(

1

9

)，
又由y=f（x）是定義在R⁺上的減函數(shù)，得：

x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

解之得：x∈(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．   …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用