Question

設(shè)函數(shù)y=f （x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且滿足f （x-2）=-f （x）對(duì)一切x∈R恒成立，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f （x）=x³，則下列四個(gè)命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）³．
③f（x）在(

3

2

，f(

3

2

))處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對(duì)稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：利用函數(shù)的奇偶性和f （x-2）=-f （x），可以得出函數(shù)的周期為4，然后結(jié)合-1≤x≤1時(shí)，f （x）=x³，得到函數(shù)在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）³，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得f （x）在(

3

2

，f(

3

2

))處得切線的斜率，即可求得其切線方程．結(jié)合函數(shù)的奇偶性，周期性就可得到其圖象的對(duì)稱軸．

解答：解：∵f （x-2）=-f （x）對(duì)一切x∈R恒成立，
∴f （x-4）=-f （x-2）=-[-f（x）]=f（x）∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．①對(duì)
設(shè)1≤x≤3∴-1≤2-x≤1  又∵當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f （x）=x³，
∴f（2-x）=（2-x）³=-f（x）∴f （x）=（2-x）³  ②對(duì)
∴f'（x）=-3（2-x）²∴f'（

3

2

）=-

3

4

=k
又∵f(

3

2

)=（2-

3

2

）³=

1

8

∴f （x）在(

3

2

，f(

3

2

))處的切線方程為：y-

1

8

=-

3

4

（x-

3

2

）即：3x+4y-5=0．③對(duì)
由f （x-2）=-f （x）=f（-x）知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為x=-1，又∵f（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 
∴f （x）的圖象的對(duì)稱軸中，有x=1，故④對(duì)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了考查了函數(shù)的奇偶性，周期性和圖象的對(duì)稱性，以及利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)在給定區(qū)間上的解析式的方法，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求其切線方程，是個(gè)中檔題．