Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）上一定點P（x₀，y₀）（y＞0），作兩條直線分別交拋物線于A（x₁，
y₁），B（x₂，y₂），
（Ⅰ）求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離；
（Ⅱ）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數。

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，
又拋物線的準線方程為，
由拋物線定義得，所求距離為；
（Ⅱ）設直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB，
由，
相減得，
故，
同理可得，
由PA，PB傾斜角互補知，
即，
所以，
設直線AB的斜率為k_AB，
由，
相減得，
所以，
將代入得，
所以k_AB是非零常數。