Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B（|AF|＞|BF|），交其準線于點C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=2，則此拋物線的方程為

y²=2x

．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由拋物線的定義得到x₁=2-

p

2

，再由|BC|=2|BF|解出x₂=

p

6

，利用拋物線的性質x₁x₂=

p2

4

建立關于p的方程，解之可得p=1，即得此拋物線的方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由拋物線的定義，得|AF|=

p

2

+x₁=2，
∴x₁=2-

p

2

∵直線l交拋物線準線于點C，|BC|=2|BF|，
∴x₂=

p

6

，
由拋物線的性質，得x₁x₂=

p

6

（2-

p

2

）=

p2

4

解之得p=1，可得此拋物線的方程為y²=2x
故答案為：y²=2x

點評：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線的方程．著重考查了拋物線的定義與標準方程、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．