Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè) ，對任意x＞0，證明：（x+1）g（x）＜ex+ex﹣2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，

由已知得 ，∴ ．

所以 ，

設(shè) ，則 ，

在（0，+∞）上恒成立，即k（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，

由k（1）=0知，當0＜x＜1時k（x）＞0，

從而f'（x）＞0，當x＞1時k（x）＜0，從而f'（x）＜0．

綜上可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）

（2）解：因為x＞0，要證原式成立即證 成立，

現(xiàn)證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒成立，

當x≥1時，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2成立；

當0＜x＜1時，ex＞1，且由（1）知g（x）＞0，

∴ ．

設(shè)F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），則F'（x）=﹣（lnx+2），

當x∈（0，e﹣2）時，F(xiàn)′（x）＞0，

當x∈（e﹣2，1）時，F(xiàn)′（x）＜0，

所以當x=e﹣2時，F(xiàn)（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．　

所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1時，g（x）＜1+e﹣2．

綜上所述，對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①

令G（x）=ex﹣x﹣1（x＞0），則G'（x）=ex﹣1＞0恒成立，

所以G（x）在（0，+∞）上遞增，G（x）＞G（0）=0恒成立，

即ex＞x+1＞0，即 ．②

當x≥1時，有： ；

當0＜x＜1時，由①②式， ，

綜上所述，x＞0時， 成立，

故原不等式成立

【解析】（1）求出f（x）的導數(shù)，通過解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證 成立，從而證明 ，設(shè)F（x）=1﹣xlnx﹣x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．