Question

【題目】已知數列中，，對任意的，，有．

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列滿足（，），

①求數列的前項和；

②設是正整數，若存在正數，對任意的正整數，當時，都有，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）的最大值為5

【解析】

（1）先證明是首項，公差都為1的等差數列，再寫出數列的通項；（2）①先求出，（），再分類討論求出數列的前項和；②原題等價于存在正數，對任意的正整數（），當時，都有，再對分類討論求出m的最大值．

（1）由，，令，

則，所以是首項，公差都為1的等差數列，

所以的通項公式為．

（2）由題意，

（），

兩式相減得（），，（），

當時，滿足上式，所以，（）．

所以①時，，；

②時，，

③且時，，．

（3）等價于，，

原題等價于存在正數，對任意的正整數（），當時，都有，

①當時，，與題目要求不符；

②當時，，與題目要求不符；

③當時，當時，上式取對數得，

等價于，

設，，則，

，，單調遞增；

，，單調遞減；

所以在取最大值，

又因為，所以；

設，，則，

設，，，時，所以在遞減，

又，所以在恒成立，即在遞減．

時，，存在；

時，，遞減，

，，

所以的最大值為5．