Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x∈（-1，1）），有下列結(jié)論：

（1）x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；

（2）m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有兩個不等實數(shù)根；

（3）x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；

（4）存在無數(shù)多個實數(shù)k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三個零點

則其中正確結(jié)論的序號為______．

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)是奇函數(shù)即可；

（2）先判斷函數(shù)|f（x）|是偶函數(shù)，令m=0可判斷結(jié)論錯誤；

（3）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)及復合函數(shù)的單調(diào)性，可判斷結(jié)論正確；

（4）先判斷函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，由函數(shù)的表達式可知x=0是它的一個零點，然后討論當x∈（0，1）時，函數(shù)一定存在一個零點（），再由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，當x∈（-1，0）時，一定存在另一個零點（），可判斷結(jié)論正確。

（1）因為f（x）=（x∈（-1，1）），

所以f（-x）=

即函數(shù)為奇函數(shù)，

所以f（-x）+f（x）=0在x∈（-1，1）恒成立．所以（1）正確；

（2）因為f（x）=（x∈（-1，1））為奇函數(shù)，

所以|f（x）|為偶函數(shù)，

當x=0時，|f（0）|=0，

所以當m=0時，方程|f（x）|=m只有一個實根，不滿足題意，所以（2）錯誤．

（3）當x∈[0，1）時，f（x）=，

令，x∈[0，1），則t∈(0，1]，

因為函數(shù)在區(qū)間[0，1）單調(diào)遞減，

而函數(shù)，在區(qū)間(0，1]單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f（x）=，在區(qū)間[0，1）單調(diào)遞增。

故x∈[0，1）時，f（x）f（0）=0，

因為函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)，

所以當x∈[-1，0）時，f（x）單調(diào)遞增，且f（x）f（0）=0，

綜上可知，函數(shù)f（x）=在（-1，1）上單調(diào)遞增，

即x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）成立，故（3）正確.

（4）由g（x）=f（x）-kx=0，即，

當x=0時，顯然成立，即x=0是函數(shù)的一個零點，

當x∈（0，1）時，，解得，令，解得

即（）是函數(shù)的一個零點，

由于g（-x）= f（-x）+kx=- f（x）+kx=-（f（x）-kx）=- g（x），

即g（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)，

故在區(qū)間（-1，0）上一定存在（）是函數(shù)的另一個零點，

所以（4）正確

故（1），（3），（4）正確．

故答案為：（1），（3），（4）