Question

【題目】已知函數f（x）=ex[ x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e為自然對數的底數．
（1）若函數f（x）的圖象在x=0處的切線與直線x+y=0垂直，求a的值；
（2）關于x的不等式f（x）＜﹣ ex在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）討論函數f（x）極值點的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ex[ x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]的導數為

f′（x）=ex（ x3﹣x2+ax﹣a），

圖象在x=0處的切線斜率為﹣a，

切線與直線x+y=0垂直，可得﹣a=1，

解得a=﹣1；

（2）解：關于x的不等式f（x）＜﹣ ex在（﹣∞，2）上恒成立，

即為 x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣ ＜0在x＜2恒成立．

即有 x3﹣2x2+4x﹣ ＜a（2﹣x），

令x﹣2=t（t＜0），可得﹣a＜ ，

令g（t）= ，t＜0，

g′（t）= = ＜0，

即g（t）在t＜0遞減，可得g（t）＞0，

可得﹣a≤0，即a的取值范圍是[0，+∞）

（3）解：由f（x）的導數為f′（x）=ex（ x3﹣x2+ax﹣a），

令h（x）= x3﹣x2+ax﹣a，由h（x）=0，

即為a（x﹣1）=x2﹣ x3，

若x=1時，方程不成立；

若x≠1時，a= ，

令m=x﹣1，可得h（m）=

= = ，

h′（m）= ，

當m＞0即x＞1時，h（m）遞減，m＜﹣1時，h（m）遞增，

﹣1＜m＜0時，h（m）遞減．

則當a＞0時，a=h（m）有一個解，f（x）有一個極值點；

當a＜0時，a=h（m）有三個解，f（x）有三個極值點．

綜上可得，a=0時，f（x）有一個極值點；

a＞0時，f（x）有一個極值點；

a＜0時，f（x）有三個極值點

【解析】（1）求出函數的導數，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，解方程可得a的值；（2）由題意可得 x3﹣2x2+4x﹣ ＜a（x﹣2），令x﹣2=t（t＜0），運用參數分離和構造g（t），求得單調性，可得a的范圍；（3）求出函數的導數，令h（x）= x3﹣x2+ax﹣a，由h（x）=0，即為a（x﹣1）=x2﹣ x3 ， 運用參數分離，求得令m=x﹣1，可得h（m）= ，求得h（m）的單調區間，可得a的范圍，即有f（x）的極值點的個數．