Question

已知橢圓的焦點為，點是橢圓上的一點，與軸的交點恰為的中點， .
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為橢圓的右頂點，過焦點的直線與橢圓交于不同的兩點,求面積的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）根據已知分析可得點橫坐標為1，縱坐標為,，即點。法一：將代入橢圓方程，結合且，解方程組可得的值。法二：根據橢圓的定義求點到兩焦點的距離的和即為，再根據關系式求得。（2）設過點的直線的斜率為,顯然（注意討論直線斜率存在與否）。當直線的斜率不存在時，直線方程為，將代入橢圓方程可得的縱坐標，從而可得，根據橢圓圖像的對稱性可知，因此可得。當直線斜率存在時設直線的方程為，將直線與橢圓方程聯立，消去（或）得關于的一元二次方程，從而可得根與系數的關系。根據弦長公式求，再用點到線的距離公式求點到直線的距離，所以。最后根據基本不等式求其范圍即可。
解：（1）因為為的中點，為的中點，，
所以，且.                          1分
所以.
因為，
所以.                               2分
因為,                              3分
所以.
所以橢圓的方程為.                               4分
（2）設過點的直線的斜率為,顯然.
（1）當不存在時，直線的方程為，                      
所以.
因為，
所以.                                 5分
（2）當存在時，設直線的方程為.
由,消并整理得:
.                     6分
設,則
，.                            7分
因為


，                                       8分
又因為點到直線的距離，          9分
所以




                                10分
設，則


             
.                          11分
因為,
所以.
因為函數在上單調遞增，        12分
所以.
所以.                      
所以.
所以.
所以
所以.                                      13分
綜合（1）（2）可知 .                       14分