【題目】設函數
，其中
，
.
（1）若
，求
的極值；
（2）若曲線
與直線
有三個互異的公共點，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）極大值為
，極小值為
；（2）
【解析】
（1）把
代入
后求導，判斷的單調性，進而可以求得極值；
（2）將公共點轉化為零點問題，構造函數
，求導判斷
的單調性，結合零點定理即可求出
的取值范圍.
（1）當時，
，
，
令
，解得
，或
；
當
變化時，
，
的變化情況如下表；
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | ﹣ | 0 | + |
| 單調增 | 極大值 | 單調減 | 極小值 | 單調增 |
∴
的極大值為
，
極小值為
；
（2）由題意，曲線與直線
有三個互異的公共點，
可轉化為
令
，可得
；
設函數，
即函數
有三個不同的零點；
，
當
時，
恒成立，此時
在
上單調遞增，不合題意
當
時，令
，解得
，
；
，解得
，或
，
，解得
，
∴在
和
上單調遞增，在
上單調遞減，
∴的極大值為
；
極小值為
若
，由的單調性可知，函數至多有兩個零點，不合題意；
若
，即
，解得
此時
，
，
，
從而由零點定理知，
在區間
，，
內各有一個零點，符合題意；
∴的取值范圍是
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某手機企業為確定下一年度投入某種產品的研發費用，統計了近
年投入的年研發費用
千萬元與年銷售量
千萬件的數據，得到散點圖1，對數據作出如下處理：令
，
，得到相關統計量的值如圖2：
（1）利用散點圖判斷
和
哪一個更適合作為年研發費用和年銷售量的回歸類型（不必說明理由），并根據數據，求出與的回歸方程；
（2）已知企業年利潤
千萬元與
的關系式為
（其中
為自然對數的底數），根據（1）的結果，要使得該企業下一年的年利潤最大，預計下一年應投入多少研發費用？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種設備隨著使用年限的增加，每年的維護費相應增加現對一批該設備進行調查，得到這批設備自購入使用之日起，前5年平均每臺設備每年的維護費用大致如下表：
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護費 | 1.1 | 1.6 | 2 | 2.5 | 2.8 |
（1）在這5年中隨機抽取兩年，求平均每臺設備每年的維護費用至少有1年多于2萬元的概率；
（2）求
關于
的線性回歸方程．若該設備的價格是每臺16萬元，你認為應該使用滿五年換一次設備，還是應該使用滿八年換一次設備？請說明理由．
參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程
的系數公式
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于定義域為
的函數
，若同時滿足下列條件：①在內有單調性；②存在區間
，使在區間
上的值域也為，則稱為上的精彩函數，為函數的精彩區間．
（1）求精彩區間
符合條件的精彩區間；
（2）判斷函數
是否為精彩函數？并說明理由．
（3）若函數
是精彩函數，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
市某機構為了調查該市市民對我國申辦
年足球世界杯的態度，隨機選取了
位市民進行調查，調查結果統計如下：
支持 | 不支持 | 合計 | |
男性市民 |
| ||
女性市民 |
| ||
合計 |
|
|
（1）根據已知數據，把表格數據填寫完整；
（2）利用（1）完成的表格數據回答下列問題：
（i）能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為支持申辦足球世界杯與性別有關；
（ii）已知在被調查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有
位退休老人，其中
位是教師，現從這位退休老人中隨機抽取
人，求至多有
位老師的概率.
附：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列
和等比數列
的各項均為整數，它們的前
項和分別為
，且
，
.
（1）求數列，的通項公式；
（2）求
；
（3）是否存在正整數
，使得
恰好是數列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分別是AB，A1C的中點.
（1）求證：直線MN⊥平面ACB1；
（2）求點C1到平面B1MC的距離.
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