Question

【題目】已知等差數列和等比數列的各項均為整數，它們的前項和分別為，且，.

（1）求數列，的通項公式；

（2）求；

（3）是否存在正整數，使得恰好是數列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，1.

【解析】

（1）利用基本量法直接計算即可；

（2）利用錯位相減法計算；

（3），令可得，，討論即可.

（1）設數列的公差為，數列的公比為，

因為，

所以，即，解得，或（舍去）.

所以.

（2），

，

所以，

所以.

（3）由（1）可得，，

所以.

因為是數列或中的一項，所以，

所以，因為，

所以，又，則或.

當時，有，即，令.

則.

當時，；當時，，

即.

由，知無整數解.

當時,有，即存在使得是數列中的第2項，

故存在正整數，使得是數列中的項.