Question

【題目】三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面AA1C1C為正方形，側面AA1B1B⊥側面BB1C1C，且AC=2，AB= ，∠A1AB=45°，E、F分別為AA1、CC1的中點．

（1）求證：AA1⊥平面BEF；
（2）求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明： ，∠A1AB=45°，AE=1，故BE⊥AA1．

又AA1∥BB1，故BE⊥BB1，又側面AA1B1B⊥側面BB1C1C

故BE⊥平面BB1C1C．EF∥AC，AC⊥AA1，EF⊥AA1，

故AA1⊥平面BEF

（2）解：以BF為x軸，BE為y軸，B1B為z軸，建立空間直角坐標系．

則E（0，1，0），B1（0，0，﹣2），

平面BEB1的法向量為 （1，0，0），

=（0，﹣1，﹣2）， =（ ，﹣1，﹣1），

設平面EB1C1的法向量 =（x，y，z），

則 ，

取y=2，得 = ，

設二面角B﹣EB1﹣C1的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出BE⊥AA1 ， BE⊥BB1 ， 從而BE⊥平面BB1C1C，由此能證明AA1⊥平面BEF．（2）以BF為x軸，BE為y軸，B1B為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．