Question

若函數f（x）為定義域D上單調函數，且存在區間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的值域恰為[a，b]，則稱函數f（x）是D上的正函數，區間[a，b]叫做等域區間．如果函數g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數，則實數m的取值范圍

(-1，-

3

4

)

．

Answer 1

分析：根據函數g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉化成關于a的方程a²+a+m+1=0在區間（-1，-

1

2

）內有實數解進行求解．

解答：解：因為函數g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數，
所以當x∈[a，b]時，
 g（a）=b g（b）=a  即a²+m=b，b²+m=a，
兩式相減得a²-b²=b-a，
即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，
且b=-（a+1）
得-1＜a＜-

1

2

，
故關于a的方程a²+a+m+1=0在區間（-1，-

1

2

）內有實數解，
記h（a）=a²+a+m+1，
則 h（-1）＞0，h（-

1

2

）＜0，
解得m∈（-1，-

3

4

）．
故答案為：（-1，-

3

4

）．

點評：本題主要考查了新的定義，以及函數的值域，同時考查了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．