Question

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為AB，BC的中點．

（1）求證：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（2）當點P在DD1上運動時，是否都有MN∥平面A1C1P，證明你的結論；
（3）若P是D1D的中點，試判斷PB與平面B1MN是否垂直？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，則AC⊥BD，

又M，N分別是AB，BC的中點，

∴MN∥AC，∴MN⊥BD．

∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，∴BB1⊥平面ABCD，

∵MN平面ABCD，∴BB1⊥MN，

∵BD∩BB1=B，∴MN⊥平面BB1D1D，

∵MN平面B1MN，

∴平面B1MN⊥平面BB1D1D．

（2）當點P在DD1上移動時，都有MN∥平面A1C1P．

證明如下：

在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=CC1，AA1∥CC1

∴四邊形AA1C1C是平行四邊形，

∴AC∥A1C1

由（1）知MN∥AC，

∴MN∥A1C1

又∵MN面A1C1P，A1C1平面A1C1P，

∴MN∥平面A1C1P；

（3）證明：過點P作PE⊥AA1，則PE∥DA，連接BE，

∵DA⊥平面ABB1A1，∴PE⊥平面ABB1A1，即PE⊥B1M，

又∵BE⊥B1M，∴B1M⊥平面PEB，

∴PB⊥MB1，

由（1）中MN⊥平面DD1B1B，得PB⊥MN，

所以PB⊥平面MNB1．

【解析】1、由已知可得BB1⊥平面ABCD，根據線面垂直的判定定理可得證MN⊥平面BB1D1D，即得證平面B1MN⊥平面BB1D1D。
2、根據線面平行的判定定理可得證，當點P在DD1上移動時，都有MN∥平面A1C1P。
3、根據題意作輔助線：過點P作PE⊥AA1，則PE∥DA，連接BE，由已知可得證，PE⊥B1M。再由線面垂直的性質定理得到PB⊥MB1利用（1）的結論可得PB⊥MN，根據線面垂直的判定定理可得證PB⊥平面MNB1．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)的相關知識才是答題的關鍵．