Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在原點(diǎn)處的切線斜率為-2.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；

（Ⅱ）若，求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析

【解析】

解法一：（1）計(jì)算導(dǎo)數(shù)，結(jié)合原點(diǎn)坐標(biāo)，建立方程，即可。（2）構(gòu)造函數(shù)，針對(duì)a取不同范圍，進(jìn)行討論，判定與0的關(guān)系，即可。解法二：（1）解法一相同（2）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合該函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，計(jì)算范圍，即可。

解法一：

（Ⅰ）依題意得，

又的圖象在原點(diǎn)處的切線斜率為-2，

∴，

，

即，.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，

且.

①當(dāng)時(shí)，，，

∴在定義域上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴恒成立，即.

②當(dāng)，時(shí)，

，

∵，

∴.

又∵，

∴恒成立，即.

∴，時(shí)，.

綜上所述，若，當(dāng)時(shí)，.

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）令

當(dāng)時(shí)，.

∴.

∴.

令，

，

∴在單調(diào)遞減.

.

得，

∴當(dāng)時(shí)，.