Question

已知函數，其中.定義數列如下：，.

（I）當時，求的值；

（II）是否存在實數m，使構成公差不為0的等差數列？若存在，請求出實數的值，若不存在，請說明理由；

（III）求證：當時，總能找到，使得.

Answer 1

（Ⅰ）1、2、5   （Ⅱ）存在

解析:

（Ｉ）因為，，所以，

，.   ………………4分

   （II）方法一：

假設存在實數，使得構成公差不為0的等差數列.

由（I）得到，，

.

因為成等差數列，

所以，                                      ………………6分

所以，，      

化簡得，

解得（舍）,.                         ………………8分

經檢驗，此時的公差不為0，

所以存在，使構成公差不為0的等差數列.…………9分

方法二：

因為成等差數列，

所以，                               ………………6分

即，

所以，即.

因為，所以解得.   ………………8分

經檢驗，此時的公差不為0.

所以存在，使構成公差不為0的等差數列.   …………9分

  （III）因為,

又 ,  所以令.

由，

    ，

     ……

     ，

將上述不等式全部相加得，即，

因此只需取正整數，就有.