Question

如圖，在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一點F，使平面C₁CF∥平面ADD₁A₁？若存在，求點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

點F為AB的中點，

存在這樣的點F，使平面C₁CF∥平面ADD₁A₁，此時點F為AB的中點，證明如下：
∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形．∴AD∥CF.
又AD平面ADD₁A₁，CF平面ADD₁A₁，
∴CF∥平面ADD₁A₁.
又CC₁∥DD₁，CC₁平面ADD₁A₁，DD₁平面ADD₁A₁，∴CC₁∥平面ADD₁A₁.
又CC₁、CF平面C₁CF，CC₁∩CF＝C，
∴平面C₁CF∥平面ADD₁A₁.