Question

在直角坐標系中，動點M到點的距離等于點M到直線的距離的倍，記動點M的軌跡為W，過點A（a，0）（a＞0）作一條斜率為k（k＜0）的直線交曲線W于B，C兩點，且交y軸于點D．
（1）求動點M的軌跡，并指出它的三條性質或特征；
（2）求證：|AB|=|CD|；
（3）若|BC|=|BD|，求△OAD的面積．（O為坐標原點）

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據動點M到點的距離等于點M到直線的距離的倍，整理可得動點M的軌跡方程為為xy=1雙曲線，再根據雙曲線的性質寫出其性質即可；
（2）直線方程為y=k（x-a），聯立直線方程與雙曲線方程整理求出BC中點以及AD的中點，只要中點坐標相同即可說明結論．
（3）先根據|BC|=|BD|，得到x₂=2x₁，結合上面的結論得到k和a之間的關系，再代入三角形的面積公式整理即可得到結論．
解答：解：（1）設M（x，y），
依題意有：．化簡得xy=1．
即動點M的軌跡方程為xy=1雙曲線，其性質為                            （4分）
（1）焦點（）（2）實軸長2（3）虛軸長2
（4）對稱性y=±x，（0，0）（5）漸近線x=0，y=0等                 （8分）
（2）直線方程為y=k（x-a），由得
kx²-kax-1=0．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC中點為N（x，y），
．
又D（0，-ka）
∴．
由|AN|=|DN|，|BN|=|CN|，
可得|AB|=|CD|（14分）
（3）若|BC|=|BD|，可知x₁＜x₂，
則x₁=x₂-x₁，即x₂=2x₁，
，
．
又|OA|=a，|OD|=-ka，
∴S_△OCD=．（18分）
點評：本題主要考查軌跡方程的求法以及直線與圓錐曲線的位置關系．解決本題的關鍵在于根據動點M到點的距離等于點M到直線的距離的倍，整理得到動點M的軌跡方程．