Question

【題目】已知P是圓A：上任意一點，B的坐標為，線段BP的垂直平分線和半徑AP交于點Q.當點P在圓A上運動時，記點Q的軌跡為曲線C.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）若直線不經過點與曲線C交于M，N兩點，且直線TM，TN的斜率之和為2，求證：直線l過定點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知，結合橢圓定義即可求解

（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，結合方程的根與系數關系及直線，的斜率之和為2可得，進而表示的方程，可證．

解：（Ⅰ）由已知，

所以點Q軌跡為以為A，B焦點，長軸長為4的橢圓，

故，

所以曲線C的方程為.

（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線/的方程為（），

代入整理得，

由題設可知，

設，則.

直線TM，TN的斜率之和為：

，

由已知得，即，

由，得或時滿足條件，

此時直線l的方程為，故直線過定點.

當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，此時，

滿足條件.

綜上，直線l過定點.