Question

對任意正整數n，定義n的雙階乘n！！如下：當n為偶數時，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；當n為奇數時，n（n-2）（n-4）…5×3×1；
現有四個命題：①（2009!!）（2008!!）=2009!，②2008!!=2×1004!，③2008！！個位數為0，④2009！！個位數為5．其中正確的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：根據題意定義n的雙階乘n！！，可知當n為偶數時，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；當n為奇數時，n（n-2）（n-4）…5×3×1，根據這些定義來驗證命題①②③④四個命題．

解答：解：①：（2009!!）（2008!!）=（2009×2007×2005×…×3×1）（2008×2006×…×4×2）=2009×2008×2007×…×2×1=2009!，故①正確；
②2008!!=2008×2006×2004×…×4×2=2¹⁰⁰⁴×（1•2•3•4…1004）=2¹⁰⁰⁴×1004!
∴2008!!≠2×1004!，
故②錯誤；
③∵2008！！=2008×2006×…10×8×4×2，有一個因式為10，則2008！！個位數為0，故選③；
④∵2009！！=2009×2007×2005×…×3×1=5×（2009×2007×2005×…×7×3×1），可知2009！！個位數為5，故④正確；
故答案為①③④．

點評：本題考查理解題中給的新定義、考查階乘的定義、新定義題是近幾年常考的題型，要注意．