Question

已知a_n=log_（n+2）（n+3），我們把使乘積a₁•a₂•a₃•…•a_n為整數(shù)的數(shù)n稱(chēng)為“優(yōu)數(shù)”，則在區(qū)間（0，2012）內(nèi)所有優(yōu)數(shù)的個(gè)數(shù)為（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)a₁•a₂•a₃•…•a_n，得到a₁•a₂•a₃•…•a_n=log₃（n+3），要使a₁•a₂•a₃•…•a_n為整數(shù)，則n+3是3的k次方（k∈Z）．由此求出在區(qū)間（0，2012）內(nèi)n的取值即可．

解答：解：由a_n=log_（n+2）（n+3），
∴a₁•a₂•a₃•…•a_n=log₃4•log₄5…log_n+2（n+3）=

lg4

lg3

•

lg5

lg4

•

lg6

lg5

…

lg(n+3)

lg(n+2)

=

lg(n+3)

lg3

=log₃（n+3）．
∵a₁•a₂•a₃•…•a_n為整數(shù)，
∴n+3是3的k次方（k∈Z）．
∴n+3可取 9，27，81，243，729．
則n在區(qū)間（0，2012）內(nèi)可取 6，24，78，240，726．
∴在區(qū)間（0，2012）內(nèi)所有“優(yōu)數(shù)”的個(gè)數(shù)為5．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了化歸思想方法，是基礎(chǔ)題．