Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2），把能夠使乘積a₁a₂a₃…a_n是整數的數字n稱為完美數，則在區間（1，2010）內所有的完美數的和為（　�。�

• A、1024
• B、2003
• C、2026
• D、2048

Answer 1

分析：a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），當n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊時，n稱為完美數，在區間（1，2010）中找出所有的完美數之后用數列的求和公式進行計算．

解答：解：∵a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），
當n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊時，n稱為完美數，
在區間（1，2010）內的完美數為2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2ⁿ-2，當2ⁿ-2≤2010時，n≤10．
∴在區間（1，2010）內所有的完美數的和S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+2⁴+…2¹⁰）-18
=

22×(1-29)

1-2

-18=2026，
故選C．

點評：迭代相消的題目規律性很強，我們要注意把握這種規律性．