Question

【題目】已知， 分別為橢圓： 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，若點(diǎn)在第一象限，且，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的最小值為; （Ⅱ）12.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設(shè)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，注意橢圓中有，因此可得最小值；

（Ⅱ）由直線與圓錐曲線相交的弦長公式求得弦長，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求得到直線的距離即三角形的高，從而得面積由基本不等式可得最大值．

試題解析：

（Ⅰ）有題意可知， ，

則， ，

∴，

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，即，

∴（），

∴當(dāng)時， 的最小值為．

（Ⅱ）設(shè)的方程，點(diǎn)， ，

由得，

令，解得．

由韋達(dá)定理得， ，

由弦長公式得，

由且，得．

又點(diǎn)到直線的距離，

∴ ，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，

∴面積最大值為12.