Question

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面

.

(Ⅰ)在上求作，使平面，請寫出作法并說明理由；

(Ⅱ)若在平面的正投影為，求四面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）本問為探索性問題，考查直線與平面平行，可以通過線面平行判定定理證明，也可以通過面面平行來證明線面平行，根據本題實際條件，可以選擇先證明面面平行，根據底面為等腰梯形且，取中點，易證四邊形為平行四邊形，所以可以證明出平面平面，則與交點即為所求點，易證平面；（Ⅱ）本問主要是找到點在平面內的正投影，即過點的平面的垂線，根據已知條件， 平面，易證明平面平面，因此根據面面垂直性質定理，過點向作垂線，垂足即為點，然后在底面內可以求出的長度，再求出的面積，然后以為頂點， 為底面，可以求出四面體的體積.

試題解析：(Ⅰ)取的中心，連結，交于，

連結，此時為所求作的點

下面給出證明：

， ,又,四邊形是平行四邊形，

故即.

又平面, 平面,平面，

， 平面平面， 平面，

又平面， 平面， ,

平面平面，

又平面,平面.

(Ⅱ) 平面, 平面,

平面平面.

過作，交的延長線于點，則平面為在平面上的正投

影.

在直角三角形中，得, ，

，

.

所以四面體的體積為.