Question

設(shè){a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=2，a₃=a₂+4，設(shè){b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

2ⁿ⁺¹-2+n²．（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到a_n，b_n．進(jìn)而利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₁=2，a₃=a₂+4，∴2q²=2q+4，化為q²-q-2=0，
∵q＞0，解得q=2．∴an=2×2n-1=2ⁿ．
∵{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n=a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=2¹+2²+…+2ⁿ+（1+3+…+2n-1）
=

2(2n-1)

2-1

+

n(1+2n-1)

2

=2ⁿ⁺¹-2+n²．（n∈N^*）
故答案為2ⁿ⁺¹-2+n²．（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．