Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，其前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為3，前n項(xiàng)和為T_n．若a₃+b₃=17，T₃-S₃=12．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n+

2

3

b_n}的前n項(xiàng)和M_n．

Answer 1

分析：（1）由已知

1+2d+3q2=17 3(1+q+q2)-(3+3d)=12

解方程可求得q，d，然后結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
（2）由an+

2

3

bn=2n-1+2ⁿ，然后結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行分組求和即可求解

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q
由已知

1+2d+3q2=17 3(1+q+q2)-(3+3d)=12

解方程可得q=2，d=2
∴a_n=2n-1，bn=3•2 n-1
（2）an+

2

3

bn=2n-1+2ⁿ
∴T_n=1+2¹+3+2²+…+2n-1+2ⁿ
=（1+3+5+…+2n-1）+（2+2²+…+2ⁿ）
=

n(1+2n-1)

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用及分組求和方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題