Question

【題目】如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

（1）求橢圓E的方程；

（2）在橢圓E上是否存點Q，使得？若存在，有幾個（不必求出Q點的坐標），若不存在，請說明理由．

（3）過橢圓E上異于其頂點的任一點P，作的兩條切線，切點分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）滿足條件的點Q存在，且有兩個（3）見解析，

【解析】試題分析：（1）依題意有，再根據幾何條件得三角形AOC為等腰直角三角形，即得點C的坐標，代入橢圓方程可得，（2）先用坐標化簡，得點Q在直線上，再根據直線與橢圓位置關系確定交點個數，即得滿足條件的點Q個數，（3）設點，先利用兩圓公共弦求切點弦MN方程，解得截距，根據點P在橢圓上化簡，得定值.

試題解析：(1)依題意知：橢圓的長半軸長，則A(2，0)，

設橢圓E的方程為

由橢圓的對稱性知|OC|＝|OB| 又∵，|BC|＝2|AC|

∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC為等腰直角三角形，

∴點C的坐標為(1，1)，點B的坐標為(－1，－1) ，

將C的坐標(1，1)代入橢圓方程得

∴所求的橢圓E的方程為

（2）設在橢圓E上存在點Q，使得，設，則

即點Q在直線上，

∴點Q即直線與橢圓E的交點，

∵直線過點，而點橢圓在橢圓E的內部，

∴滿足條件的點Q存在，且有兩個．

（3）設點，由M、N是的切點知，,

∴O、M、P、N四點在同一圓上，

且圓的直徑為OP,則圓心為，

其方程為，

即-----④

即點M、N滿足方程④，又點M、N都在上，

∴M、N坐標也滿足方程---------------⑤

⑤-④得直線MN的方程為，

令得，令得，

∴，又點P在橢圓E上，

∴，即=定值.