Question

（本小題滿分12分）

甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，比賽停止時一共已打ξ局.

（1）列出隨機變量ξ的分布列；（2）求ξ的期望值Eξ.

Answer 1

解法1：

（1）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6.

設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為()²＋()²＝.

若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響.從在則有

P（ξ＝2）＝，P（ξ＝4）＝·＝，P（ξ＝6）＝()²＝，

∴ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P

（9分）

（2）Eξ＝2×＋4×＋6×＝.

（12分）

解法2：

（1）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6.

令A_k表示甲在第k局比賽中獲勝，則_k表示乙在第k局比賽中獲勝.

由獨立性與互斥性得

P（ξ＝2）＝P(A₁A₂)＋P()＝，

P（ξ＝4）＝P()＋P()＋P()＋P()

＝2[()³()＋()³()]＝，

P（ξ＝6）＝P()＋P()＋P()＋P()

＝4()²()²＝，

∴ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P

（9分）

（2）Eξ＝2×＋4×＋6×＝.

（12分）