Question

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，側棱是底面邊長的2倍，P是側棱CC₁上的任一點．

（1）求證：不論P在側棱CC₁上何位置，總有BD^AP；

（2）若CC₁=3C₁P，求平面AB₁P與平面ABCD所成二面角的余弦值；

（3）當P點在側棱CC₁上何處時，AP在平面B₁AC上的射影是ÐB₁AC的平

分線．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：由題意可知，不論P點在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD內射影都是AC，∵ BD^AC，∴ BE^AP． （2）解：延長B1P和BC，設B1P∩BC=M，連結AM，則AM=平面AB1P∩平面ABCD．過B作BQ^AM于Q，連結B1Q，由于BQ是B1Q在底面ABCD內的射影，所以B1Q^AM，故ÐB1QB就是所求二面角的平面角，依題意，知CM=2B1C1，從而BM=3BC． 所以AM+，在RtDABM中， BQ=，在RtDB1BQ中，tanÐB1QB=， ∴ tanÐB1QB=．∴ 1+tan2ÐB1QB=得． ∴ cosÐB1QB=為所求． （3）解：設CP=a，BC=m，則BB1=2m，C1P=2m-a，從而B1P2=m2+(2m-a)2， =m2+4m2=5m2，AC=m． 在RtDACP中，cosÐAPC=．在DPAB1中，cosÐPAB1= 依題意，得ÐPAC=ÐPAB1．∴=． ∴ AP2+-B1P2=2AC×AB1．即a2+2m2+5m2-[m2+(2m-a)2]=m， ∴ ．故P距C點的距離是側棱的． 另解：如圖，建立空間直角坐標系． 設CP=a，CC1=6，∴ B1(0，3，6)，C(-3，3，0)，P(-3，3，a)． ∴ =(0，3，6)，=(-3，3，0)，=(-3，3，a)． 依題意，得， 即 3+2a =，亦即a=． 故P距C點的距離是側棱的．