Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長AA₁=2，AB=1，E是AA₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）求點A到平面BDE的距離．

Answer 1

分析：（1）連接AC，交BD于O，連接OE，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，證明OE是△AA₁C的中位線，然后根據直線與平面平行的判斷定理進行證明；
（2）過點A作AH⊥OE，垂足為H，可得A₁A⊥BD，然后再證BD⊥平面A₁AC，推出AH⊥平面BDE，在Rt△OAE中，進行求解．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接AC，交BD于O，連接OE（1分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形
∴點O是AC的中點（2分）
又E是AA₁的中點
∴OE是△AA₁C的中位線
∴OE∥A₁C（4分）
∵OE?平面BDE，A₁C?平面BDE，
∴A₁C∥平面BDE（6分）

（Ⅱ）解：過點A作AH⊥OE，垂足為H（7分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，A₁A⊥平面ABCD（8分）
∴A₁A⊥BD（9分）
又∵A₁A∩AC=A
∴BD⊥平面A₁AC
∴BD⊥AH（10分）
又AH⊥OE，BD∩OE=E
∴AH⊥平面BDE（11分）
在Rt△OAE中，AE=

1

2

A1A=1，OA=

2

2

AB=

2

2

，
OE=

AE2+OA2

=

6

2

AH=

AE•OA

OE

=

3

3

．
即點A到平面BDE的距離是

3

3

（13分）

點評：此題考查直線與平面平行的性質及平面與平面平行的性質及其應用，此題計算量比較大，計算時要仔細，此題是道好題，也是高考常考的題型．