Question

【題目】如圖1，在路邊安裝路燈，路寬為OD，燈柱OB長為h米，燈桿AB長為1米，且燈桿與燈柱成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為2θ，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直．
（1）設燈罩軸線與路面的交點為C，若OC=5 米，求燈柱OB長；
（2）設h=10米，若燈罩軸截面的兩條母線所在直線一條恰好經過點O，另一條與地面的交點為E（如圖2）；
（i）求cosθ的值；
（ii）求該路燈照在路面上的寬度OE的長；

Answer 1

【答案】
（1）解：過A作AE⊥OD，垂足為E，過B作BF⊥AE，垂足為F，

則∠ABF=120°﹣90°=30°，

∴AF= AB= ，BF= AB= ，

∴OE=BF= ，

∴CE=OC﹣OE= ．

在四邊形ABOC中，∵∠BOC=∠BAC=90°，∠ABO=120°，

∴∠ACO=60°，

在Rt△ACE中，tan∠ACE= = ，

∴AE= CE= ，

∴OB=EF=AE﹣AF=13．

即燈柱OB高13米．

（2）解：（i）在△ABO中，由余弦定理得OA= = ，

由正弦定理得 = ，∴sin∠BAO= = ．

∴cosθ=sin∠BAO= ．

（ii）sinθ= = ，sin2θ=2sinθcosθ= ，

∴sin∠AEO=sin（60°﹣θ）= ﹣ = ．

在△AOE中，由正弦定理得 = ，

解得OE= = ．

【解析】（1）作AE⊥OD，BF⊥AE，求出AF，BF，得出CE的長，根據tan∠ACE= 求出AE，從而得出OB的長；（2）（i）在△AOB中，利用正弦定理求出sin∠BAO即可得出cosθ；（ii）利用差角公式計算sin∠AEO，在△AOE中，利用正弦定理計算OE．