Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+lnx（a∈R）．

（1）當a=時，求f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；

（2）如果函數g（x），f1（x），f2（x），在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱g（x）為f1（x），f2（x）的“活動函數”．已知函數. 。若在區間（1，+∞）上，函數f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數”，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）a的范圍是 .

【解析】試題分析：（1）由題意得 f（x）=x2+lnx， ，∴f（x）在區間[1，e]上為增函數，即可求出函數的最值．

（2）由題意得：令 f（x） f2（x）= ，對x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=對x∈（1，+∞）恒成立， 分類討論當 或 時兩種情況求函數的最大值，可得到a的范圍．又因為h′（x）=﹣x+2a﹣=，

h（x）在（1，+∞）上為減函數，可得到a的另一個范圍，綜合可得a的范圍．

試題解析：

（1）當 時，，；

對于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區間[1，e]上為增函數，

∴，．

（2）在區間（1，+∞）上，函數f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數”，則f1（x）＜f（x）＜f2（x）令 ＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，

且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0對x∈（1，+∞）恒成立，

∵

若 ，令p′（x）=0，得極值點x1=1，，

當x2＞x1=1，即 時，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，

此時p（x）在區間（x2，+∞）上是增函數，并且在該區間上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合題意；

當x2＜x1=1，即a≥1時，同理可知，p（x）在區間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；

若 ，則有2a﹣1≤0，此時在區間（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，

從而p（x）在區間（1，+∞）上是減函數；

要使p（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足 ，

所以 ≤a≤．

又因為h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數，

h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤

綜合可知a的范圍是[，]．