Question

已知橢圓C:=1(a＞b＞0),F₁,F₂為其左、右兩焦點，A為右頂點，l為左準線，a²-b²=c².過F₁的直線e′:x=my-c與橢圓相交于P、Q兩點，且有=(a+c)².

(1)求橢圓C的離心率e的最小值；

(2)若e∈(,)，求m的范圍；

(3)若AP∩l=M,AQ∩l=N，求證：M、N兩點的縱坐標之積為定值.

Answer 1

解：(1)聯立方程消去x得(a²+b²m²)y²-2b²cmy-b⁴=0.設P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),則有y₁+y₂=,y₁y₂=.

∴x₁+x₂=m(y₁+y₂)-2c=，

x₁x₂=(my₁-c)(my₂-c)=m²y₁y₂-mc(y₁+y₂)+c²=，

(x₁-a)(x₂-a)=x₁x₂-a(x₁+x₂)+a²=.

又A(a，0)，

∴=(x₁-a,y₁)，=(x₂-a,y₂),

∴·=(x₁-a)(x₂-a)+y₁y₂=(a+c)²，

即(a+c)².化簡得，

即有m²=.                                                    

由m²≥0，可得到a²-2(a-c)²≥0,

即a≥(a-c),

∴≥1，故離心率e的最小值為1.                                 

(2)m²==.

易知m²是關于e的增函數.

∴當e∈()時,有2＜m²＜2,即＜m²＜.

∴m的范圍為()∪().                                    

(3)AP的方程為y=(x-a)與l的方程：x=聯立可得M的縱坐標為y_m=( -a).同理可得y_n=.

∴y_M·y_N=(-a)²·(定值).