Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點為F₁，左焦點為F₂，若橢圓上存在一點P，滿足線段PF₁相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點為線段PF₁的中點，則該橢圓的離心率為（　�。�

A． 5 3

B． 2 3

C． 2 2

D． 5 9

Answer 1

設以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF₁相切于點M，連結OM、PF₂，
∵M、O分別為PF₁、F₁F₂的中點，
∴MO∥PF₂，且|PF₂|=2|MO|=2b，
又∵線段PF₁與圓O相切于點M，可得OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|PF₂|=2b，
∴|PF₁|=

|F1F2|2-|PF2|2

=

4c2-4b2

，
根據橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴

4c2-4b2

+2b=2a，即

c2-b2

=a-b，
兩邊平方得：c²-b²=（a-b）²，即a²-2b²=（a-b）²，化簡得2ab-3b²=0，解得b=

2

3

a，
因此，c=

a2-b2

=

5

3

a，可得橢圓的離心率e=

c

a

=

5

3

．
故選：A