Question

設F₁，F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在直線x=

a2

c

上存在點P，使線段PF₁的中垂線過點F₂，則橢圓的離心率的取值范圍是______．

Answer 1

設準線與x軸的交點為Q，連結PF₂，
∵PF₁的中垂線過點F₂，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，可得|PF₂|=2c，
∵|QF₂|=

a2

c

-c，且|PF₂|≥|QF₂|，
∴2c≥

a2

c

-c，兩邊都除以a得2•

c

a

≥

a

c

-

c

a

，
即2e≥

1

e

-e，整理得3e²≥1，解得e≥

3

3

，
結合橢圓的離心率e∈（0，1），得

3

3

≤e＜1．
故答案為：（

3

3

，1）．