【題目】已知動點
與點
的距離和它到直線
：
的距離的比是
.
（1）求動點
的軌跡
的方程；
（2）已知定點
，若
，
是軌跡上兩個不同動點，直線
，
的斜率分別為
，
，且
，試判斷直線
的斜率是否為定值，并說明理由.
【答案】（1）
；（2）斜率為定值，該值為1.
【解析】
(1)由動點
與點
的距離和它到直線
：
的距離的比是
，可得方程
，化簡可得
的軌跡
的方程；
（2）設直線
的斜率為
，則直線
的斜率為
,可得所以直線的方程為
，直線的方程為
. 設點
，
，由
，因為點
在橢圓上,可得
的值，
的值，可得直線
的斜率
為定值.
解：（1）設
是點到直線：的距離，依題意可得，
點的軌跡就是集合：
，
由此得，
將上式兩邊平方，并化簡得，
即點的軌跡方程是.
（2）因為
，
設直線的斜率為，則直線的斜率為.
所以直線的方程為，
直線的方程為.
設點，，由，
得
（1）
因為點在橢圓上，所以
是方程（1）的一個根，
則
，所以
.
同理
，所以
，
.
又
，
所以直線的斜率
，
所以直線的斜率為定值，該值為1.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是一個纜車示意圖，該纜車的半徑為4.8 m，圓上最低點與地面的距離為0.8 m，纜車每60 s轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設B點與地面的距離為h m．
（1）求h與θ之間的函數解析式；
（2）設從OA開始轉動，經過t s達到OB，求h與t之間的函數解析式，并計算經過45 s后纜車距離地面的高度．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】半期考試后，班長小王統計了50名同學的數學成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示．
根據頻率分布直方圖，估計這50名同學的數學平均成績；
用分層抽樣的方法從成績低于115的同學中抽取6名，再在抽取的這6名同學中任選2名，求這兩名同學數學成績均在
中的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是橢圓
上任一點，點
到直線
的距離為
，到點
的距離為
，且
.直線
與橢圓
交于不同兩點
（
都在
軸上方），且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）當
為橢圓與
軸正半軸的交點時，求直線
方程；
（3）對于動直線
，是否存在一個定點，無論
如何變化，直線
總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀如圖所示的程序框圖，解答下列問題：
（1）求輸入的
的值分別為
時，輸出的
的值；
（2）根據程序框圖，寫出函數
（
）的解析式；并求當關于
的方程
有三個互不相等的實數解時，實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個矩形（B，C全等），用來制成一個柱體．現有兩種方案：
方案①：以
為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面；
方案②：以
為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個正方形（各邊分別與
或
垂直）作為正四棱柱的兩個底面．
（1）設B，C都是正方形，且其內切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；
（2）設
的長為
dm，則當
為多少時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是
的直徑，PA垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點.
（1）證明：
是直角三角形；
（2）若
，且當直線
與平面
所成角的正切值為
時，求直線與平面
所成角的正弦值.
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