Question

【題目】某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本為萬元．

（1）若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？

（2）現按（1）中的數量購買機器人，需要安排m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀（如圖）．經實驗知，每臺機器人的日平均分揀量為，（單位：件）．已知傳統的人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大時，用人數量比引進機器人前的用人數量最多可減少百分之幾？

Answer 1

【答案】（1）300臺；（2）.

【解析】

（1）由總成本萬元，可得每臺機器人的平均成本，然后利用基本不等式求最值；
（2）引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量，分段求出300臺機器人的日平均分揀量的最大值及所用人數，再由最大值除以1200，可得分揀量達最大值時所需傳統分揀需要人數，則答案可求．

解：（1）由總成本萬元，

可得每臺機器人的平均成本：

．
當且僅當，即時，上式等號成立．
∴若使每臺機器人的平均成本最低，應買300臺；
（2）引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量，
當時，300臺機器人的日平均分揀量為，
∴當時，日平均分揀量有最大值144000．
當時，日平均分揀量為480×300＝144000．
∴300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144000件．
若傳統人工分揀144000件，則需要人數為人．
∴日平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機器人前的用人數量最多可減少．