Question

【題目】已知函數(shù)，.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)當(dāng)時(shí)，是否存在，使得成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，接著求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分類討論。

（2）假設(shè)存在，使得成立，則對(duì)，滿足，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求與。

解：（1），

當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間，所以不存在極值．

當(dāng)時(shí)，令，得,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，極大值為，無(wú)極小值．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間，不存在極值．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，無(wú)極小值

（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在，使得成立，則對(duì)，滿足

由可得，

.

令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以

由（1）可知，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的最小值是．

②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以的最小值是．

③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時(shí)，在上的最小值是.當(dāng)時(shí)，在上的最小值是

所以當(dāng)時(shí)，在上的最小值是，故，

解得,所以．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值是，故，

解得，所以.故實(shí)數(shù)的取值范圍是