Question

【題目】如圖,在長(zhǎng)方體、分別是棱AB、BC的中點(diǎn).

(1)證明四點(diǎn)共面；

(2)直線(xiàn)與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接AC，證明EF∥AC，推出EF∥A1C1，即可證明A1、C1、F、E四點(diǎn)共面；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為xyz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易求得，求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線(xiàn)CD1與平面A1C1FE所成的角的正弦函數(shù)值，進(jìn)而可得到角．

（1）連接AC，因?yàn)?/span>E，F分別是AB，BC的中點(diǎn)，

所以EF是△ABC的中位線(xiàn)，所以EF∥AC，

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，

所以A1、C1、F、E四點(diǎn)共面．

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為xyz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

易求得，，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，，得，，

所以，所以，

所以直線(xiàn)與平面所成的角的正弦函數(shù)值為，

故直線(xiàn)與平面所成角的大小為.