Question

已知函數是奇函數（a＞0， 且a≠1）。
（1）求m的值；
（2）判斷f(x)在區間(1，+∞)上的單調性并加以證明；
（3）當a＞1，x∈(r，a-2)時，f(x)的值域是(1，+∞)，求a與r的值。

Answer 1

解：（1）由是奇函數，得f(-x)=-f(x)，
即log_a+log_a=0，
∴log_a=0，解得：m=-1（m=1舍去）。
（2）由（1）得，(a＞0，a≠1)，
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
令t(x)=， 則，
∵x₁＞1，x₂＞1，x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴t(x₁)＞t(x₂)，
∴當a＞1時，，f(x)在（1，+∞）上是減函數；
當0＜a＜1時，f(x)在（1，+∞）上是增函數。
（3）當a＞1時，要使f(x)的值域是（1，+∞），則＞1，即＞a，
從而，
又＞1，即＞0，解得：x＞1，
∴1＜x＜，
∴，∴r=1，a=2+。