Question

已知函數是奇函數，定義域為區間D（使表達式有意義的實數x 的集合）．
（1）求實數m的值，并寫出區間D；
（2）若底數a滿足0＜a＜1，試判斷函數y=f（x）在定義域D內的單調性，并說明理由；
（3）當x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底數）時，函數值組成的集合為[1，+∞），求實數a、b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據奇函數的性質，得到任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即可得到（m²-1）x²-（2m-1）²+1=0在D內恒成立，即得到即可得到m，寫出區間D；
（2）令，在在D=（-1，1）上是隨x增大而減小，根據復合函數的單調性即可判斷；
（3）根據A⊆D，結合（2）知函數上是增函數，得到得到a，在根據若b＜1，則f（x）在A上的函數值組成的集合為，不滿足函數值組成的集合是[1，+∞）的要求，得到b．
解答：解（1）∵y=f（x）是奇函數，
∴對任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即．
化簡此式，得（m²-1）x²-（2m-1）²+1=0．又此方程有無窮多解（D是區間），
必有，解得m=1．
∴．
（2）當0＜a＜1時，函數上是單調增函數．
理由：令．
易知1+x在D=（-1，1）上是隨x增大而增大，在D=（-1，1）上是隨x增大而減小，
故在D=（-1，1）上是隨x增大而減小
于是，當0＜a＜1時，函數上是單調增函數．
（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底數）
∴0＜a＜1，a＜b≤1．
∴由（2）知，函數上是增函數，即，
解得．
若b＜1，則f（x）在A上的函數值組成的集合為，不滿足函數值組成的集合是[1，+∞）的要求，
∴必有b=1．
因此，所求實數a、b的值是．
點評：本題從恒等式出發得到m，另外復合函數的單調性的判斷關鍵在于分離出單個函數，屬于中檔題．